PDF-версии: 1. Тип Д47 A47 № 2037 
Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года, вариант 4120. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии
Классификатор алгебры: 5\.5\. Уравнения рациональные относительно логарифмических функций
Сложная алгебра (выражения, уравнения, неравенства, системы). Задания для подготовки
i
Корнями уравнения 
являются?
1) −10
2) 10
3) −18
4) 9
5) 18
6) 0
Решение. Решим сначала уравнение
откуда 
или 
Ясно что для обоих этих корней знаменатель определен и не равен нулю, поэтому они действительно корни исходного уравнения.
Правильные ответы указаны под номерами 5 и 6.
Ответ: 56
2037
56
Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года, вариант 4120. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии
Классификатор алгебры: 5\.5\. Уравнения рациональные относительно логарифмических функций
и 
и рассмотрим систему 
и 
Тогда второе уравнение дает 
и 
получим неравенство 
Домножая это уравнение на 2 и складывая с первым, получим 
откуда 
и 
следовательно, 
Ответ 3, 5 и 6.
а второе 
Складывая эти уравнения, получим 
откуда 
и 
Эти числа даны в ответах 2 и 7, просто по-разному записаны. 
тогда первое уравнение примет вид 
или 
Значит, второе уравнение примет вид 
Решая это квадратное уравнение, получим 
или 
(невозможно, поскольку логарифм не определен). Делителями 6 будут ±1, ±2, ±3, ±6.
Преобразуем его при этом условии
и 
сумма которых 6, а произведение 5. Ответ 4 и 5. 
Подставляя это выражение во второе уравнение, получим 
и 
и 
Ответ 5 и 6.
Найдите наибольшее решение системы неравенств.
тогда 
Уравнение примет вид
или 
что невозможно, поскольку 
откуда 
Тогда из второго уравнения 
откуда 
Ответ 8.
где (x; y) — решение системы уравнений: 
и рассмотрим систему 
получаем 
откуда 
и 
Тогда 
и 
принимает все значения из промежутка [−1; 1], то 
и 
где (x; y) — решение системы уравнений: 
и рассмотрим систему 
и 
и 
откуда 
и 
являются?
что невозможно, либо 
откуда 
являются
где (x; y) — решение системы уравнений: 
откуда 
и тогда 
то есть 
Значит, 
на 2 и получить нужный ответ, но все-таки полезно убедиться, что решение, о котором идет речь, действительно существует.
Синус неотрицателен на верхней полуокружности тригонометрического круга, то есть 
Значит, 
Из приведенных чисел годятся 
но оно не натуральное.
то среди предложенных чисел найдите 
и 
и 
находим 
или 
Эти числа даны в ответах 4 и 7.
где (x; y) — решение системы уравнений: 
то есть 
Тогда уравнение сводится к 
следовательно, 
во второе уравнение, получаем 
и 
Это число лежит в промежутках 5 и 7. 
где (x; y) — решение системы уравнений: 
второе уравнение можно записать в виде 
и xy верны, если x и y являются решением системы уравнений 
(при условии, что логарифмы определены). Из второго равнения выразим 
и подставим в новое первое. Получим 
Значит, 
являются?
тогда
или 
откуда 
или 
Эти числа даны в ответах 5 и 7.
тогда уравнение примет вид 
или 
откуда 
или 
Их сумма 3.
при 
являются?
откуда его корни это 
Из них на указанном отрезке лежат только 
и 
и рассмотрим систем
и тогда 
Значит, 
и 
откуда 
Это число дано в ответах 1, 2 и 3, просто по-разному записано.
корнями знаменателя 
и 
Получим ответ 
откуда 
и 
Следовательно, x и y — числа вида 
если 
поэтому 
Решая уравнение 
получаем 
и 
поэтому ответом будет 
Главное не упустить ответ номер 7, ведь 
и рассмотрим систему 
годятся, а по теореме, обратной теореме Виета, никаких других решений быть не может (суммой и произведением пара чисел определяется не более чем одним способом). Значит, 
Из всех предлагаемых ответов, обе координаты которых лежат на 
могут подходить лишь те, где 
или 
и 
Это только второй ответ.
являются?
где 
—
откуда 
Итак, 
и 
Очевидно 
и 
или 
и 
годятся, а по теореме, обратной теореме Виета, никаких других решений быть не может (суммой и произведением пара чисел определяется не более чем одним способом). Значит, 
или 
—
то первое уравнение дает 
то есть 
откуда 
Аналогично при 
то первое уравнение дает 
откуда 
и 
Значит, 
Найдите 
и 
являются?
и рассмотрим систему 
и 
откуда 
а второе можно преобразовать как 
и 
(иначе логарифмы не определены). Итак, любое решение системы, а они есть, например (3; 4), удовлетворяет условию 
принадлежащее промежуткам 1, 2 и 4.
если 
во второе уравнение, получаем 
Тогда 
откуда 
Итак, уравнение определено при 
Запишем его в виде 
или 
Оба этих числа действительно подходят. Их сумма 15.
тогда
поэтому 
Значит, ответом будет номер 5.
откуда 
то есть 
Значит, 
Это число дано в ответах 1 и 4, просто по-разному записано. 
так как число −2,5 — нецелое. Ответ 2 и 4.
Найдите значения выражений 
и 
Значит, 
и 
являются
откуда 
или 
Тогда из второго уравнения 
Очевидно 
или 
годятся, а по теореме, обратной теореме Виета, никаких других решений быть не может (суммой и произведением пара чисел определяется не более чем одним способом). Значит, 
или 
Ответ 4 и 7.
где (x; y) — решение системы уравнений: 
и 
откуда 
Это число дано в ответах 3 и 6, просто по-разному записано. 
где (x; y) — решение системы уравнений: 
Второе уравнение можно записать в виде 
следовательно, 
является промежуток?
где (x; y) — решение системы уравнений 
Складывая это уравнение с первым, получим 
то есть 
и 
Тогда 
являются?
тогда уравнение примет вид 
Решая это квадратное уравнение, получим 
или 
Либо 
откуда 
что невозможно. Либо 
откуда 
то есть 
Подходят ответы 3 и 6. 
является промежуток?
откуда 
и 
Подставляя это значение в первое уравнение, получим 
получаем 
Значит, 
то есть 
при этом из второго уравнения следует, что 
Значит, 
В принципе можно было бы здесь остановиться, но на всякий случай дорешаем систему. Складывая уравнения 
и 
находим 
то есть 
Для этих чисел 
и 
во втором 
Ответ 3 и 8.
при 
получим 
Решая это квадратное уравнение, найдем 
Уравнение 
имеет корень 
Уравнение 
корней не имеет, поскольку 
при всех x. Ответ 2 и 7.
равно 1.
являются промежутки?
Это множество включает промежутки номер 1, 3, 4 и 6.
причем 
Это позволяет подставить все наборы и установить, какие из них годятся.
и ответом на него будет 
Второе можно записать в виде 
Пересекая эти множества, получим ответ на систему 
Этот промежуток совпадает с ответом 1 и содержится в ответе 6.
при которых первое неравенство выполнено гарантировано, поскольку 
При этом условии второе неравенство будет равносильно 
то есть 
Осталось выбрать подходящие числа.
Выберите промежутки, в которые входит решение данного уравнения.
Тогда:
