ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д47 A47 № 3232 Добавить в вариант

Найдите сумму корней логарифмического уравнения $2 десятичный логарифм x минус десятичный логарифм 4 плюс десятичный логарифм левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =0.$

1) 4

2) 2

3) 3

4) −3

5) 7

6) 0

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

$2 десятичный логарифм x минус десятичный логарифм 4 плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =0\Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4 \Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4\Rightarrow x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =4.$ $2 десятичный логарифм x минус десятичный логарифм 4 плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =0\Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4 \Rightarrow$
$\Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4\Rightarrow x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =4.$ $2 десятичный логарифм x минус десятичный логарифм 4 плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =0\Rightarrow$
$\Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате плюс \lg левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4 \Rightarrow$
$\Rightarrow десятичный логарифм x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка = десятичный логарифм 4\Rightarrow x в квадрате левая круглая скобка 5 минус x в квадрате правая круглая скобка =4.$

Обозначим временно $x в квадрате =t,$ тогда уравнение примет вид

$t левая круглая скобка 5 минус t правая круглая скобка =4 равносильно 5t минус t в квадрате =4 равносильно t в квадрате минус 5t плюс 4=0.$

Решая это квадратное уравнение, получим $t=4$ или $t=1,$ откуда $x=\pm 2$ или $x=\pm 1.$ Для отрицательных чисел исходное уравнение не определено, поэтому корнями будут только $x=1$ или $x=2.$ Их сумма 3.

Правильный ответ указан под номером 3.

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 1. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 4\.1\. Уравнения первой и второй степени относительно показательных функций

Методы алгебры: Замена переменной

Спрятать решение · Помощь