Пусть M и N се­ре­ди­ны сно­ва­ний AB и CD тра­пе­ции ABCD со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки OAB и OCD по­доб­ны (по трем углам) с ко­эф­фи­ци­ен­том 3 (по усло­вию), а их ме­ди­а­ны OM и ON яв­ля­ют­ся про­дол­же­ни­я­ми друг друга, по­это­му

Ко­ор­ди­на­ты точки M равны

по­это­му

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

У лю­бо­го опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Пусть верх­нее ос­но­ва­ние тра­пе­ции имеет длину x, а ниж­нее 2x, тогда

Опу­стим из B и C — вер­шин мень­ше­го ос­но­ва­ния — пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на AD (см. ри­су­нок). Тогда

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABH по­лу­ча­ем

Зна­чит, рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции равно С дру­гой сто­ро­ны, один из диа­мет­ров впи­сан­ной окруж­но­сти тоже пред­став­ля­ет собой такое рас­сто­я­ние. Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По­сколь­ку у тра­пе­ции есть впи­сан­ная окруж­ность, суммы ее про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, по­это­му бо­ко­вые сто­ро­ны равны

Опу­стим из B и C — вер­шин мень­ше­го ос­но­ва­ния — пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на AD (см. ри­су­нок). Тогда

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABH по­лу­ча­ем

Зна­чит, рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции равно С дру­гой сто­ро­ны, один из диа­мет­ров впи­сан­ной окруж­но­сти тоже пред­став­ля­ет собой такое рас­сто­я­ние. Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Обо­зна­чим за T любую точку ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции и рас­смот­рим тре­уголь­ник KOT. По­сколь­ку про­ек­ци­ей KT на плос­кость ABCD будет OT — пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не, то по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и KT — пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не, зна­чит, имен­но его длину нам и надо найти. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр CH на ос­но­ва­ние тра­пе­ции (см. ри­су­нок). Тогда по­сколь­ку у окруж­но­сти есть диа­метр, рав­ный вы­со­те тра­пе­ции. Зна­чит,

по­это­му По­сколь­ку тра­пе­ция опи­сан­ная, суммы ее про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, то есть

Итого:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Обо­зна­чим концы диа­мет­ра за A и B, центр окруж­но­сти за O, осталь­ные вер­ши­ны тра­пе­ции за C и D, при­чем Тогда тре­уголь­ни­ки OBC и ODA — рав­но­сто­рон­ние, зна­чит,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Вы­чис­ляя по из­вест­ной фор­му­ле пло­щадь тра­пе­ции, по­лу­чим

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Опу­стим также пер­пен­ди­ку­ляр CH (см. ри­су­нок). Тогда во-пер­вых

а во-вто­рых и

Под­хо­дя­щие от­ве­ты 3 и 8.

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1 и 4.

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, по­это­му бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна

Пусть H — ос­но­ва­ние вы­со­ты из вер­ши­ны B (см. ри­су­нок). Тогда

и

С дру­гой сто­ро­ны, один из диа­мет­ров впи­сан­ной окруж­но­сти, оче­вид­но, равен вы­со­те. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен по­это­му при­над­ле­жит от­рез­кам 5 и 7.

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 2 и 6.

Опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го диа­го­на­лью, боль­шим ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вой сто­ро­ной, равна опи­сан­ной окруж­но­сти тра­пе­ции, по­это­му равны и их ра­ди­у­сы. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 41, диа­го­наль равна 50. Найдём ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти по со­от­вет­ству­ю­щей фор­му­ле:

Ответ: 41.

Наи­боль­шим углом дан­ной тра­пе­ции будет угол, при­ле­жа­щий к углу, рав­но­му Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции, равна в дан­ном слу­чае ве­ли­чи­на наи­боль­ше­го угла равна:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

По тео­ре­ме Фа­ле­са, по­лу­ча­ем, что пря­мые, об­ра­зо­ван­ные опо­ра­ми, от­се­ка­ют на крыше рав­ные от­рез­ки. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию сред­ней линии тра­пе­ции. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Опу­стим вы­со­ты BH и CM. Числа 25, 7 и 24 со­став­ля­ют пи­фа­го­ро­ву трой­ку, по­это­му AM = 24. Пусть AH = a, тогда DM = a, а BC = HM = 24 − a. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

При­ме­ча­ние.

Можно было вос­поль­зо­вать­ся тем, что про­ек­ция диа­го­на­ли на боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна сред­ней линии, а пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту.

Опу­стим вы­со­ты тра­пе­ции BH и CH₁. Так как ост­рый угол тра­пе­ции равен 45°, пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, AH  =  BH. Так как AH + HH₁ + H₁D  =  30, а HH₁  =  BC  =  18, по­лу­ча­ем, что AH  =  6. Сле­до­ва­тель­но, длина вы­со­ты тра­пе­ции BH также равна 6. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Вы­со­та тра­пе­ции вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти и равна 24. Так как тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти, сумма длин ее бо­ко­вых сто­рон равна сумме длин ос­но­ва­ний, сле­до­ва­тель­но, сумма длин ос­но­ва­ний равна 50. Тогда сред­няя линия, рав­ная по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, равна 25.

Ответ: 24.

Опу­стим вы­со­ты тра­пе­ции BH и CH₁. Так как ост­рый угол тра­пе­ции равен 45°, пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, AH  =  BH. Так как AH + HH₁ + H₁D  =  24, а HH₁  =  BC  =  16, по­лу­ча­ем, что AH  =  4. Сле­до­ва­тель­но, длина вы­со­ты тра­пе­ции BH также равна 4. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Вы­со­та тра­пе­ции вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти и равна 28. Так как тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти, сумма длин ее бо­ко­вых сто­рон равна сумме длин ос­но­ва­ний, сле­до­ва­тель­но, сумма длин ос­но­ва­ний равна 60. Тогда сред­няя линия, рав­ная по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, равна 30.

Ответ: 41.