Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д48 A48 № 3255
i

Ос­но­ва­ния рав­но­бо­кой тра­пе­ции равны 2 см и 14 см. Из цен­тра О окруж­но­сти, впи­сан­ной в эту тра­пе­цию, про­ве­ден пер­пен­ди­ку­ляр ОК к плос­ко­сти тра­пе­ции, ОК = 6 см. Рас­сто­я­ние от точки K до сто­рон тра­пе­ции равна

1) 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 43 конец ар­гу­мен­та  см
2) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 43 конец ар­гу­мен­та  см
3) 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та  см
4) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та  см
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку у тра­пе­ции есть впи­сан­ная окруж­ность, суммы ее про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, по­это­му бо­ко­вые сто­ро­ны равны дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 14, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =8.

Опу­стим из B и C — вер­шин мень­ше­го ос­но­ва­ния — пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на AD (см. ри­су­нок). Тогда

AH=KD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD минус BC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12=6

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABH по­лу­ча­ем

BH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 минус 36 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . С дру­гой сто­ро­ны, один из диа­мет­ров впи­сан­ной окруж­но­сти тоже пред­став­ля­ет собой такое рас­сто­я­ние. Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Обо­зна­чим за T любую точку ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции и рас­смот­рим тре­уголь­ник KOT. По­сколь­ку про­ек­ци­ей KT на плос­кость ABCD будет OT — пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не, то по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и KT — пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не, зна­чит, имен­но его длину нам и надо найти. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

KT= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KO в квад­ра­те плюс OT в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 в квад­ра­те плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 7 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 43 конец ар­гу­мен­та .

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 2. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: 2\.5\. Осо­бые виды тра­пе­ций (рав­ноб\., пря­мо­уг\., перп\. диаг\. и др\.), 3\.3\. Впи­сан­ная окруж­ность
Спрятать решение · Помощь