ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д41 A41 № 2135 Добавить в вариант

Имеем A (2; 10) и В (8; 9) вершины меньшего основания трапеции. Точка пересечения диагоналей О (4; 8) делит каждую диагональ в отношении 1 : 3. Найдите координаты точки середины нижнего основания трапеции.

1) (4; 5)

2) (4,5; 3)

3) (1; 3,5)

4) (3; 5)

Спрятать решение

Решение.

Пусть M и N середины снований AB и CD трапеции ABCD соответственно. Тогда треугольники OAB и OCD подобны (по трем углам) с коэффициентом 3 (по условию), а их медианы OM и ON являются продолжениями друг друга, поэтому $\overlineNM=4\overlineOM.$

Координаты точки M равны

$левая круглая скобка дробь: числитель: 2 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 10 плюс 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка 5; 9,5 правая круглая скобка ,$

поэтому

$\overlineOM= левая круглая скобка 5; 9,5 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1; 1,5 правая круглая скобка ,$ $\overlineNM=4\overlineOM=4 левая круглая скобка 1; 1,5 правая круглая скобка = левая круглая скобка 4; 6 правая круглая скобка ,$ $N= левая круглая скобка 5; 9,5 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4; 6 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1; 3,5 правая круглая скобка .$

Правильный ответ указан под номером 3.

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ по математике 2022 года, вариант 3. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Методы геометрии: Использование векторов, Использование подобия, Метод координат

Классификатор планиметрии: 2\.5\. Особые виды трапеций (равноб\., прямоуг\., перп\. диаг\. и др\.), Задачи, где в условии координаты

Спрятать решение · Помощь