Сумма всех внут­рен­них углов дан­но­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка равна n · 160°, в то же время сумма внут­рен­них углов пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка равна 180°(n − 2). Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Внеш­ний угол дан­но­го мно­го­уголь­ни­ка равен Сумма внеш­них углов лю­бо­го мно­го­уголь­ни­ка равна 360°, зна­чит, всего этих углов штук.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Сумма внеш­них углов лю­бо­го мно­го­уголь­ни­ка равна 360°, а у пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка все эти углы равны. Зна­чит, каж­дый из них равен

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Сумма углов n-уголь­ни­ка равна 180°(n − 2). Каж­дый из них равен 108°, по­это­му, с дру­гой сто­ро­ны, эта сумма равна 108°n. Решим урав­не­ние 180°(n − 2)  =  108°n. По­лу­чим 72°n  =  360°, от­ку­да n  =  5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, где А и B  — со­сед­ние вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка, О  — центр окруж­но­сти (см. рис.). Углы при ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка равны равны 54°, сле­до­ва­тель­но, угол при вер­ши­не равен 72°. Тогда n  =  360° : 72°  =  5.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Пусть n  — ис­ко­мое ко­ли­че­ство сто­рон. С по­мо­щью фор­му­лы о ве­ли­чи­не угла пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка со­ста­вим урав­не­ние:

Ис­ход­ный мно­го­уголь­ник имеет 36 сто­рон.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.