Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 38 № 4018
i

Даны три числа, об­ра­зу­ю­щие гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Если от пер­во­го числа вы­честь 12, то эти числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­чеcкую про­грес­сию, ко­то­рые в сумме равны боль­ше­му члену гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те эти числа и вы­бе­ри­те из пред­ло­жен­ных ва­ри­ан­тов числа, со­от­вет­ству­ю­щие гео­мет­ри­че­ской или ариф­ме­ти­чеcкой про­грес­си­ям

1) 18; 10; 2
2) 13; 5; 1
3) 32; 8; 2
4) 27; 9; 3
5) 15; 9; 3
6) 37; 18,5; 9,25
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть aq2, aq, a,  — члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Если из пер­во­го члена вы­честь 12, то сумма чле­нов по­лу­чив­шей­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна боль­ше­му члену, по­лу­ча­ем:

aq в квад­ра­те минус 12 плюс aq плюс a = aq в квад­ра­те рав­но­силь­но a плюс aq = 12.

Най­дем сумму чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии по со­от­вет­ству­ю­щей фор­му­ле:

дробь: чис­ли­тель: aq в квад­ра­те минус 12 плюс a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 = aq в квад­ра­те рав­но­силь­но 3aq в квад­ра­те минус 36 плюс 3a = 2aq в квад­ра­те рав­но­силь­но aq в квад­ра­те плюс 3a = 36.

Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс aq = 12,aq в квад­ра­те плюс 3a = 36 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = 12,a левая круг­лая скоб­ка q в квад­ра­те плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 36 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1 плюс q, зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те плюс 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,a левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = 12 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний q в квад­ра­те = 3q,a левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = 12 конец си­сте­мы . \undersetq не равно 0\mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний q = 3,a левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка = 12 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a = 3,q = 3. конец си­сте­мы .

По­лу­ча­ем, что члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии — числа 3, 9 и 27, а ариф­ме­ти­че­ской — числа 3, 9 и 15.

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 4 и 5.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕНТ−2023 по ма­те­ма­ти­ке. Ва­ри­ант 3
Классификатор алгебры: 9\.7\. За­да­чи на про­грес­сии
Методы алгебры: Све­де­ние к си­сте­ме
Спрятать решение · Помощь