Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 4017
i

Дан еди­нич­ный куб ABCDA1B1C1D1 . Най­ди­те угол между пря­мой AB1 и пря­мой BC1.

1) дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
2) 60°
3) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби
4) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
5) 90°
6) 30°
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек: A(0; 0; 1), B1(0; 1; 0), B(0; 0; 0), C1(1; 1; 0). Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowAB_1: \overrightarrowAB_1 = левая круг­лая скоб­ка 0 минус 0; 1 минус 0; 0 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но \overrightarrowAB_1 = левая круг­лая скоб­ка 0; 1; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowBC_1: \overrightarrowBC_1 = левая круг­лая скоб­ка 1 минус 0; 1 минус 0; 0 минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но \overrightarrowBC_1 = левая круг­лая скоб­ка 1; 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем длину век­то­ра \overrightarrowAB_1: | \overrightarrowAB_1| = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из 2 . Най­дем длину век­то­ра |\overrightarrowBC_1| = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из 2 . Имеем:

ко­си­нус \widehatAB_1, BC_1 = дробь: чис­ли­тель: \overrightarrowAB_1 умно­жить на \overrightarrowBC_1, зна­ме­на­тель: |\overrightarrowAB_1| умно­жить на |\overrightarrowBC_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0 умно­жить на 1 плюс 1 умно­жить на 1 плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 0, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 умно­жить на ко­рень из 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, угол между пря­мой AB1 и пря­мой BC1 равен дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби или 60°.

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 2 и 4.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕНТ−2023 по ма­те­ма­ти­ке. Ва­ри­ант 3
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · Помощь