Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 2045
i

В пря­мой пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 имеем B_1D = 8 ко­рень из 3 и \angleB_1DB = 45 гра­ду­сов. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти дан­ной приз­мы.

1) 768 ко­рень из 3
2) 228 ко­рень из 3
3) 288 ко­рень из 3
4) 384 ко­рень из 6
5) 288 ко­рень из 2
6) 192 ко­рень из 3
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник B1BD пря­мо­уголь­ный с углом 45°, по­это­му рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит,

BB_1=BD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби B_1D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Пусть длина ребра ос­но­ва­ния равна x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BCD по­лу­ча­ем

BD в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те минус 2 умно­жить на x умно­жить на x умно­жить на ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те плюс 2 умно­жить на x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3x в квад­ра­те ,

от­ку­да BD=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , сле­до­ва­тель­но,

x= дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

6 умно­жить на BC умно­жить на BB_1=6 умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та =96 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та =192 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Для на­хож­де­ния пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти нужно до­ба­вить сюда еще две пло­ща­ди ос­но­ва­ний. Ос­но­ва­ние — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, ко­то­рый можно раз­бить на 6 пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков, со­еди­нив вер­ши­ны с цен­тром. Пло­щадь пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной x равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Итого, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти будет равна

192 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 умно­жить на 6 умно­жить на 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =192 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 96 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =288 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 3 и 6.

Источник: Ре­аль­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 4120. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: 3\.12\. Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, 4\.1\. Пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ков
Спрятать решение · Помощь