Рас­смот­рим ос­но­ва­ние приз­мы. Это пра­виль­ный тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го впи­сан­ная окруж­ность имеет ра­ди­ус Центр окруж­но­сти сов­па­да­ет с точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан (они же вы­со­ты) рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Зна­чит, они де­лят­ся этим цен­тром в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. По­это­му вы­со­та тре­уголь­ни­ка равна а бо­ко­вая его сто­ро­на равна

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 2, 3 и 4.

Бо­ко­вая грань приз­мы — пря­мо­уголь­ник, а угол на­кло­на его диа­го­на­ли к ос­но­ва­нию приз­мы это угол между диа­го­на­лью и ее про­ек­ци­ей на плос­кость ос­но­ва­ния, то есть реб­ром ос­но­ва­ния. Зна­чит, бо­ко­вая грань — пря­мо­уголь­ник с углом 45° между сто­ро­ной и диа­го­на­лью. Тогда это квад­рат пло­ща­дью от­ку­да и вы­со­та приз­мы, и сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равны 6. Пло­щадь пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна

по­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна

а объем приз­мы равен

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Сна­ча­ла най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­шин. Оче­вид­но A (0; 0; 1). У точки F z-ко­ор­ди­на­та ну­ле­вая, x-ко­ор­ди­на­та равна

На­ко­нец, y-ко­ор­ди­на­та ее равна

Точка E сим­мет­рич­на F от­но­си­тель­но оси OY, по­это­му ее ко­ор­ди­на­ты а у точки B, про­ек­ция ко­то­рой на ниж­нюю плос­кость — точка E, ко­ор­ди­на­ты будут Ана­ло­гич­но у точки C ко­ор­ди­на­ты будут Тогда

и

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 3 и 5.