РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 40 № 3927 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.13\. Прочие прямые призмы, 4\.2\. Объем многогранника

Сложная стереометрия (комбинации фигур, сечения, мультивыбор). Задания для подготовки

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, тупой угол которой равен 120°. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Диагональ призмы образует с основанием угол 45°. Меньшее основание равно 4. Число V — объем призмы. Укажите нечетные делители числа V.

1) 1

2) 3

3) 11

4) 2

5) 9

6) 3

Решение. Острый угол трапеции в основании равен $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому

$\angle CAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle DAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

$\angle ACB=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CAB минус \angle CBA=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle ACB=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CAB минус \angle CBA=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

откуда $AB=BC=4.$ По теореме косинусов для треугольника ABC находим

$AC= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $AC=$
$= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $AC=$
$= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Далее,

$\angle ACD=\angle BCD минус \angle BCA=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ $\angle ACD=\angle BCD минус \angle BCA=$
$=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и по теореме Пифагора $AD в квадрате =AC в квадрате плюс CD в квадрате =48 плюс 16=64,$ то есть $AD=8.$ Значит, площадь основания равна

$S_ABC плюс S_ACD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4 синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4=$
$=8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $S_ABC плюс S_ACD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4 синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4=$
$=8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $S_ABC плюс S_ACD=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4 синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4=$
$=8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =$
$=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

В прямоугольном треугольнике ACC₁ находим $CC_1=AC тангенс 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =AC=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Значит, объем призмы равен

$12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =48 умножить на 3=144=2 в степени 4 умножить на 3 в квадрате .$

У этого числа нечетными делителями будут только 1, 3 и 9.

Правильные ответы указаны под номерами 1, 2 и 5.

Ответ: 125

3927

125

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.13\. Прочие прямые призмы, 4\.2\. Объем многогранника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3927	125