Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 3927
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, тупой угол ко­то­рой равен 120°. Диа­го­наль тра­пе­ции яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой остро­го угла. Диа­го­наль приз­мы об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°. Мень­шее ос­но­ва­ние равно 4. Число V — объем приз­мы. Ука­жи­те не­чет­ные де­ли­те­ли числа V.

1) 1
2) 3
3) 11
4) 2
5) 9
6) 7
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ост­рый угол тра­пе­ции в ос­но­ва­нии равен  180 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов = 60 гра­ду­сов, по­это­му

\angle CAB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle DAB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 60 гра­ду­сов = 30 гра­ду­сов,

\angle ACB = 180 гра­ду­сов минус \angle CAB минус \angle CBA = 180 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов минус 120 гра­ду­сов = 30 гра­ду­сов,

от­ку­да AB = BC = 4. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем:

AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2AB умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус \angle ABC конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 16 минус 2 умно­жить на 4 умно­жить на 4 ко­си­нус 120 гра­ду­сов конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 плюс 32 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ке ACD на­хо­дим:

\angle ACD = \angle BCD минус \angle BCA = 120 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов = 90 гра­ду­сов.

Сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

AD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 конец ар­гу­мен­та = 8.

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

S_осн = S_ABC плюс S_ACD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на 4 синус 120 гра­ду­сов плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 = 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACC1 ост­рый угол равен 45°, по­это­му CC_1 = AC = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Таким об­ра­зом, объем приз­мы равен

V = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = 144 = 2 в сте­пе­ни 4 умно­жить на 3 в квад­ра­те .

У этого числа не­чет­ны­ми де­ли­те­ля­ми будут толь­ко 1, 3 и 9.

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 2 и 5.

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 3\.13\. Про­чие пря­мые приз­мы, 4\.2\. Объем мно­го­гран­ни­ка
Спрятать решение · Помощь