Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 3927
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, тупой угол ко­то­рой равен 120°. Диа­го­наль тра­пе­ции яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой остро­го угла. Диа­го­наль приз­мы об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°. Мень­шее ос­но­ва­ние равно 4. Число V — объем приз­мы. Ука­жи­те не­чет­ные де­ли­те­ли числа V.

1) 1
2) 3
3) 11
4) 2
5) 9
6) 3
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ост­рый угол тра­пе­ции в ос­но­ва­нии равен 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му

\angle CAB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle DAB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка

и

\angle ACB=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle CAB минус \angle CBA=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да AB=BC=4. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим

AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 4 умно­жить на 4 ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 16 минус 2 умно­жить на 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 16 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Далее,

\angle ACD=\angle BCD минус \angle BCA=120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AD в квад­ра­те =AC в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те =48 плюс 16=64, то есть AD=8. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния равна

S_ABC плюс S_ACD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на 4 синус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4=8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACC1 на­хо­дим CC_1=AC тан­генс 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =AC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, объем приз­мы равен

12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =48 умно­жить на 3=144=2 в сте­пе­ни 4 умно­жить на 3 в квад­ра­те .

У этого числа не­чет­ны­ми де­ли­те­ля­ми будут толь­ко 1, 3 и 9.

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 2 и 5.

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 3\.13\. Про­чие пря­мые приз­мы, 4\.2\. Объем мно­го­гран­ни­ка
Спрятать решение · Помощь