Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д48 A48 № 3478
i

Около тре­уголь­ни­ка ABC, с пря­мым утлом C и ги­по­те­ну­зой AB = 13 см, опи­са­на окруж­ность. Най­ди­те все вер­ные утвер­жде­ния.

1) угол C опи­ра­ет­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти
2) сyмма квад­ра­тов сто­рон AC и BC равна 144
3) ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти
4) ра­ди­ус окруж­но­сти равен 6,5 см
5) центр окруж­но­сти делит ги­по­те­ну­зу на от­рез­ки 3 см и 10 см
6) ме­ди­а­на, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе, яв­ля­ет­ся вы­стой
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

У пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка центр опи­сан­ной окруж­но­сти сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы. Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 6,5, диа­метр 13, пря­мой угол C опи­ра­ет­ся на этот диа­метр и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те =AB в квад­ра­те =169. От­сю­да по­лу­ча­ем, что 3 и 4 верны, а 1, 2 и 5 не­вер­ны.

Утвер­жде­ние 6 верно толь­ко в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке. Нет ни­ка­ко­го спо­со­ба узнать, яв­ля­ет­ся ли этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ным. По­это­му нель­зя узнать, будет ли ответ 6 вер­ным (но во­об­ще го­во­ря не будет).

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 3 и 4.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 8. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: 3\.4\. Опи­сан­ная окруж­ность, Тре­уголь­ник
Спрятать решение · Помощь