Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 3430
i

B еди­нич­ном кубе най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны В до плос­ко­сти (АСВ1).

1) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби
2) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
3) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
4) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды B1ABC двумя спо­со­ба­ми. С одной сто­ро­ны

V_B_1ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби B_1B умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB умно­жить на BC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на 1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

С дру­гой сто­ро­ны тре­уголь­ник ACB1 пра­виль­ный со сто­ро­ной

a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BB_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Пло­щадь пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда

V_B_1ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка B, ACB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ACB_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка B, ACB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка B, ACB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка B, ACB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , от­ку­да

d левая круг­лая скоб­ка B, ACB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 7. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Метод объ­е­мов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 2\.5\. Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, 3\.8\. Куб
Спрятать решение · Помощь