ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 3378 Добавить в вариант

Решите систему уравнений: $система выражений левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , логарифм по основанию 5 10x минус логарифм по основанию 5 y=1. конец системы .$

1) (2; 4)

2) (8; 2)

3) (5; 4)

4) (4; 1)

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение можно записать в виде

$3 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка минус y правая круглая скобка правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 3x плюс y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно минус 3x плюс y= минус 2 равносильно y=3x минус 2.$ $3 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус левая круглая скобка минус y правая круглая скобка правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 3x плюс y правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка равносильно минус 3x плюс y= минус 2 равносильно y=3x минус 2.$

Преобразуем теперь второе уравнение и подставим в него это выражение.

$логарифм по основанию 5 10x минус логарифм по основанию 5 y=1 равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 y плюс 1 равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 y плюс логарифм по основанию 5 5 равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 5y,$ $логарифм по основанию 5 10x минус логарифм по основанию 5 y=1 равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 y плюс 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 y плюс логарифм по основанию 5 5 равносильно логарифм по основанию 5 10x= логарифм по основанию 5 5y,$

откуда $10x=5y,$ то есть $2x=y,$ значит, $2x=3x минус 2$ или $x=2.$ Тогда $y=2x=4$ и для таких чисел второе уравнение системы определено, поэтому все переходы в нем были для данной пары чисел равносильны и она действительно является решением.

Правильный ответ указан под номером 1.

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 6. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 4\.1\. Уравнения первой и второй степени относительно показательных функций, 5\.1\. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций, 7\.3\. Системы смешанного типа

Спрятать решение · Помощь