РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип Д40 A40 № 3357 Добавить в вариант

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 5. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Методы геометрии: Свойства касательных, хорд, секущих, Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: 3\.6\. Системы окружностей

Планиметрия: окружности, круг и их элементы. Задания для подготовки

Даны касающиеся окружности с центрами O₁ и O₂, DF — общая касательная; $DC=16,$ $FO_1=6,$ $DA=2.$ Радиус второй окружности равен

1) 12

2) 9

3) 10

4) 15

Решение. Отметим, что

$DO_1=DC минус CO_1=DC минус FO_1=16 минус 6=10.$ $DO_1=DC минус CO_1=$
$=DC минус FO_1=16 минус 6=10.$

В треугольнике DO₁F имеем $\angle DFO_1=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ так как касательная перпендикулярна радиусу, поэтому

$DF= корень из: начало аргумента: DO_1 в квадрате минус O_1F в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 10 в квадрате минус 6 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 100 минус 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента =8.$ $DF= корень из: начало аргумента: DO_1 в квадрате минус O_1F в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 10 в квадрате минус 6 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 100 минус 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента =8.$

Обозначим теперь радиус второй окружности за R, тогда

$FO_2=R, DO_2=DA плюс AO_2=2 плюс R$

и по теореме Пифагора для треугольника DFO₂ получаем

$R в квадрате плюс 8 в квадрате = левая круглая скобка R плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно 64 плюс R в квадрате =R в квадрате плюс 4R плюс 4 равносильно$
$равносильно 4R=60 равносильно R=15.$ $R в квадрате плюс 8 в квадрате = левая круглая скобка R плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 64 плюс R в квадрате =R в квадрате плюс 4R плюс 4 равносильно$
$равносильно 4R=60 равносильно R=15.$

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

3357

Методы геометрии: Свойства касательных, хорд, секущих, Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: 3\.6\. Системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3357	4