Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д40 A40 № 3357
i

Даны ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти с цен­тра­ми O1 и O2, DF — общая ка­са­тель­ная; DC=16, FO_1=6, DA=2. Ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти равен

1) 12
2) 9
3) 10
4) 15
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

От­ме­тим, что

DO_1=DC минус CO_1=DC минус FO_1=16 минус 6=10.

В тре­уголь­ни­ке DO1F имеем \angle DFO_1=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , так как ка­са­тель­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, по­это­му

DF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: DO_1 в квад­ра­те минус O_1F в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 в квад­ра­те минус 6 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус 36 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 конец ар­гу­мен­та =8.

Обо­зна­чим те­перь ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти за R, тогда

FO_2=R, DO_2=DA плюс AO_2=2 плюс R

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка DFO2 по­лу­ча­ем

R в квад­ра­те плюс 8 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка R плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 64 плюс R в квад­ра­те =R в квад­ра­те плюс 4R плюс 4 рав­но­силь­но 4R=60 рав­но­силь­но R=15.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 5. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, хорд, се­ку­щих, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: 3\.6\. Си­сте­мы окруж­но­стей
Спрятать решение · Помощь