ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 5 № 3344 Добавить в вариант

Числитель дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится число $дробь: числитель: 106, знаменатель: 45 конец дроби .$ Найдите исходную дробь.

1) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 9, знаменатель: 13 конец дроби$

3) $дробь: числитель: 11, знаменатель: 15 конец дроби$

4) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим числитель дроби за x, а знаменатель за $x плюс 4,$ тогда по условию

$дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 106, знаменатель: 45 конец дроби ,$

после домножения на знаменатели получаем

$45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно 45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x в квадрате плюс 8x плюс 16 правая круглая скобка =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45x в квадрате плюс 360x плюс 720=106x в квадрате плюс 424x равносильно$
$равносильно 16x в квадрате плюс 64x минус 720=0 равносильно x в квадрате плюс 4x минус 45=0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =0.$ $45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x в квадрате плюс 8x плюс 16 правая круглая скобка =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45x в квадрате плюс 360x плюс 720=106x в квадрате плюс 424x равносильно 16x в квадрате плюс 64x минус 720=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x минус 45=0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =0.$ $45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x в квадрате плюс 8x плюс 16 правая круглая скобка =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45x в квадрате плюс 360x плюс 720=106x в квадрате плюс 424x равносильно$
$равносильно 16x в квадрате плюс 64x минус 720=0 равносильно x в квадрате плюс 4x минус 45=0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =0.$ $45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45 левая круглая скобка x в квадрате плюс 8x плюс 16 правая круглая скобка =106x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 45x в квадрате плюс 45x в квадрате плюс 360x плюс 720=106x в квадрате плюс 424x равносильно$
$равносильно 16x в квадрате плюс 64x минус 720=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x минус 45=0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =0.$

Значит, $x=5$ или $x= минус 9.$ Видимо имеется в виду, что дробь равна $дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби ,$ а не $дробь: числитель: минус 9, знаменатель: минус 5 конец дроби .$

Правильный ответ указан под номером 4.

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 5. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 3\.9\. Рациональные уравнения

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Спрятать решение · Помощь