Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 3218
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 синус в квад­ра­те x плюс 6=13 синус y, y минус 2 x=0. конец си­сте­мы .

1) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n; 2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 3 плюс Пи k; 2 арк­тан­генс 3 плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
2) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
3) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
4) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 1 плюс Пи n ; 2 левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 1 плюс Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 2 плюс Пи k ; 2 левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 2 плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка : n, k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем y=2x. Под­став­ляя это вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние, на­хо­дим

2 синус в квад­ра­те x плюс 6=13 синус 2x рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x плюс 6 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =13 умно­жить на 2 синус x ко­си­нус x.

Если ко­си­нус x=0, то урав­не­ние сво­дит­ся к 6 синус в квад­ра­те x=0, что не­воз­мож­но при этом усло­вии. Зна­чит, таких кор­ней нет и де­ле­ние урав­не­ния на ко­си­нус в квад­ра­те x не при­ве­дет к по­те­ре кор­ней.

2 тан­генс в квад­ра­те x плюс 6 левая круг­лая скоб­ка тан­генс в квад­ра­те x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =26 тан­генс x.

Обо­зна­чим вре­мен­но тан­генс x=t.

2t в квад­ра­те плюс 6t в квад­ра­те плюс 6=26t рав­но­силь­но 8t в квад­ра­те минус 26t плюс 6=0 рав­но­силь­но 4t в квад­ра­те минус 13t плюс 3=0.

Решая это квад­рат­ное урав­не­ние, по­лу­ча­ем t=3 или t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Зна­чит либо x= арк­тан­генс 3 плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z , либо x= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z , y же по­лу­ча­ет­ся до­мно­же­ни­ем этих вы­ра­же­ний на 2.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 1. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Классификатор алгебры: 3\.1\. Ли­ней­ные урав­не­ния, 6\.4\. Од­но­род­ные три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, 7\.3\. Си­сте­мы сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной
Методы тригонометрии: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Фор­му­лы крат­ных углов
Спрятать решение · Помощь