ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 23 № 3217 Добавить в вариант

Решите уравнение $x в степени левая круглая скобка 3 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби .$

1) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ;$ 5

3) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

4) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ 81

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $логарифм по основанию 3 x=t,$ тогда $x=3 в степени t .$ Уравнение примет вид

$левая круглая скобка 3 в степени t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби равносильно 3 левая круглая скобка t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка равносильно t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = минус 4 равносильно 3t минус t в квадрате = минус 4 равносильно t в квадрате минус 3t минус 4=0.$ $левая круглая скобка 3 в степени t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби равносильно 3 левая круглая скобка t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = минус 4 равносильно 3t минус t в квадрате = минус 4 равносильно t в квадрате минус 3t минус 4=0.$ $левая круглая скобка 3 в степени t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби равносильно 3 левая круглая скобка t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка правая круглая скобка = 3 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно t левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка = минус 4 равносильно$
$равносильно 3t минус t в квадрате = минус 4 равносильно t в квадрате минус 3t минус 4=0.$

Решая это квадратное уравнение, получаем $t= минус 1$ или $t=4.$ При $логарифм по основанию 3 x= минус 1$ находим $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ При $логарифм по основанию 3 x=4$ находим $x=81.$

Правильный ответ указан под номером 4.

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 1. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 4\.7\. Показательные уравнения других типов, 5\.9\. Прочие логарифмические уравнения, 7\.1\. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Спрятать решение · Помощь