Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 2625
i

Сто­ро­ны ос­но­ва­ний пра­виль­ной усе­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды 4 дм и 12 дм. Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с боль­шим ос­но­ва­ни­ем угол 60°. Най­ди­те вы­со­ту.

1) 5 дм
2) 4 дм
3) 3 дм
4) 7 дм
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­стро­им усе­чен­ную пи­ра­ми­ду до пра­виль­ной (см. ри­су­нок). По­сколь­ку A_1B_1:AB=1:3, то вы­со­ты пи­ра­мид SABC и SA1B1C1 раз­ли­ча­ют­ся также втрое и вы­со­та усе­чен­ной пи­ра­ми­ды равна SH минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби SH= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби SH. Будем те­перь ис­кать SH. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SHH1, где H1 — се­ре­ди­на AC. В нем

HH_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка B, AC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 в квад­ра­те минус 6 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 в квад­ра­те минус 1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Кроме того,

\angle SH_1H=\angle левая круг­лая скоб­ка SAC, BAC пра­вая круг­лая скоб­ка =60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­сколь­ку SH_1\perp AC и BH_1\perp AC. Зна­чит,

SH=H_1H тан­генс 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =6

и ответ на за­да­чу равен дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 6=4.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Источник: Ре­аль­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 4240. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 3\.7\. Усе­чен­ные пи­ра­ми­ды
Спрятать решение · Помощь