РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип Д41 A41 № 2100 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ по математике 2022 года, вариант 2. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Методы геометрии: Использование векторов

Классификатор планиметрии: 2\.4\. Прочие параллелограммы, Задачи, где в условии векторы

Простой метод координат, задачи линейной алгебры. Задания для подготовки

В параллелограмме ABCD дано: $\vecAB = 2\veca минус \vecb,$ $\vecAD = \veca плюс 3\vecb;$ $|\veca| = 3;$ $|\vecb| = 2$ и $\angle левая круглая скобка \veca; \vecb правая круглая скобка = 60 градусов .$ Найдите длины отрезков AC и BD.

1) $AC = корень из: начало аргумента: 133 конец аргумента ;$ $BD = 7$

2) $AC = корень из: начало аргумента: 133 конец аргумента ;$ $BD = корень из 7$

3) $AC = корень из: начало аргумента: 105 конец аргумента ;$ $BD = корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента$

4) $AC = 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ;$ $BD = корень из: начало аргумента: 70 конец аргумента$

Решение. Для начала заметим, что

$\overlineAC=\overlineAB плюс \overlineBC=\overlineAB плюс \overlineAD=2\overlinea минус \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb=3\overlinea плюс 2\overlineb$ $\overlineAC=\overlineAB плюс \overlineBC=\overlineAB плюс \overlineAD=$
$=2\overlinea минус \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb=3\overlinea плюс 2\overlineb$

$\overlineBD=\overlineBA плюс \overlineAD= минус \overlineAB плюс \overlineAD=$
$= минус 2\overlinea плюс \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb= минус \overlinea плюс 4\overlineb.$ $\overlineBD=\overlineBA плюс \overlineAD=$
$= минус \overlineAB плюс \overlineAD=$
$= минус 2\overlinea плюс \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb= минус \overlinea плюс 4\overlineb.$

Вычислим теперь длины этих векторов. Отметим еще, что

$\overlinea умножить на \overlineb=\abs\overlinea умножить на \abs\overlineb умножить на косинус \angle левая круглая скобка \overlinea; \overlineb правая круглая скобка =3 умножить на 2 умножить на косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =3.$ $\overlinea умножить на \overlineb=\abs\overlinea умножить на \abs\overlineb умножить на косинус \angle левая круглая скобка \overlinea; \overlineb правая круглая скобка =$
$=3 умножить на 2 умножить на косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =3.$

Тогда

$\abs\overlineAC= корень из: начало аргумента: \overlineAC конец аргумента умножить на \overlineAC= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3\overlinea конец аргумента плюс 2\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка 3\overlinea плюс 2\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 9\abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 4\abs\overlineb в квадрате плюс 12\overlinea умножить на \overlineb=$
$= корень из: начало аргумента: 9 умножить на 9 плюс 4 умножить на 4 плюс 12 умножить на 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 81 плюс 16 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 133 конец аргумента$ $\abs\overlineAC= корень из: начало аргумента: \overlineAC конец аргумента умножить на \overlineAC= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3\overlinea конец аргумента плюс 2\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка 3\overlinea плюс 2\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 9\abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 4\abs\overlineb в квадрате плюс 12\overlinea умножить на \overlineb=$
$= корень из: начало аргумента: 9 умножить на 9 плюс 4 умножить на 4 плюс 12 умножить на 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 81 плюс 16 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 133 конец аргумента$ $\abs\overlineAC= корень из: начало аргумента: \overlineAC конец аргумента умножить на \overlineAC=$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3\overlinea конец аргумента плюс 2\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка 3\overlinea плюс 2\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 9\abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 4\abs\overlineb в квадрате плюс 12\overlinea умножить на \overlineb=$
$= корень из: начало аргумента: 9 умножить на 9 плюс 4 умножить на 4 плюс 12 умножить на 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 81 плюс 16 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 133 конец аргумента$

$\abs\overlineBD= корень из: начало аргумента: \overlineBD конец аргумента умножить на \overlineBD= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус \overlinea конец аргумента плюс 4\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка минус \overlinea плюс 4\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: \abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 16\abs\overlineb в квадрате минус 8\overlinea умножить на \overlineb=$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 умножить на 4 минус 8 умножить на 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 64 минус 24 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 конец аргумента =7.$ $\abs\overlineBD= корень из: начало аргумента: \overlineBD конец аргумента умножить на \overlineBD= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус \overlinea конец аргумента плюс 4\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка минус \overlinea плюс 4\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: \abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 16\abs\overlineb в квадрате минус 8\overlinea умножить на \overlineb= корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 умножить на 4 минус 8 умножить на 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 64 минус 24 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 конец аргумента =7.$ $\abs\overlineBD= корень из: начало аргумента: \overlineBD конец аргумента умножить на \overlineBD=$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус \overlinea конец аргумента плюс 4\overlineb правая круглая скобка левая круглая скобка минус \overlinea плюс 4\overlineb правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: \abs\overlinea конец аргумента в квадрате плюс 16\abs\overlineb в квадрате минус 8\overlinea умножить на \overlineb=$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 умножить на 4 минус 8 умножить на 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 64 минус 24 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 конец аргумента =7.$

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

2100

Методы геометрии: Использование векторов

Классификатор планиметрии: 2\.4\. Прочие параллелограммы, Задачи, где в условии векторы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2100	1