Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д41 A41 № 2100
i

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD дано: \vecAB = 2\veca минус \vecb, \vecAD = \veca плюс 3\vecb; |\veca| = 3; |\vecb| = 2 и \angle левая круг­лая скоб­ка \veca; \vecb пра­вая круг­лая скоб­ка = 60 гра­ду­сов . Най­ди­те длины от­рез­ков AC и BD.

1) AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та ; BD = 7
2) AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та ; BD = ко­рень из 7
3) AC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 105 конец ар­гу­мен­та ; BD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та
4) AC = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та ; BD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для на­ча­ла за­ме­тим, что

\overlineAC=\overlineAB плюс \overlineBC=\overlineAB плюс \overlineAD=2\overlinea минус \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb=3\overlinea плюс 2\overlineb

и

\overlineBD=\overlineBA плюс \overlineAD= минус \overlineAB плюс \overlineAD= минус 2\overlinea плюс \overlineb плюс \overlinea плюс 3\overlineb= минус \overlinea плюс 4\overlineb.

Вы­чис­лим те­перь длины этих век­то­ров. От­ме­тим еще, что

\overlinea умно­жить на \overlineb=\abs\overlinea умно­жить на \abs\overlineb умно­жить на ко­си­нус \angle левая круг­лая скоб­ка \overlinea; \overlineb пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на 2 умно­жить на ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3.

Тогда

\abs\overlineAC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \overlineAC конец ар­гу­мен­та умно­жить на \overlineAC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3\overlinea конец ар­гу­мен­та плюс 2\overlineb пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3\overlinea плюс 2\overlineb пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9\abs\overlinea конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 4\abs\overlineb в квад­ра­те плюс 12\overlinea умно­жить на \overlineb=
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 9 плюс 4 умно­жить на 4 плюс 12 умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 81 плюс 16 плюс 36 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та

и

\abs\overlineBD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \overlineBD конец ар­гу­мен­та умно­жить на \overlineBD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус \overlinea конец ар­гу­мен­та плюс 4\overlineb пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус \overlinea плюс 4\overlineb пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \abs\overlinea конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 16\abs\overlineb в квад­ра­те минус 8\overlinea умно­жить на \overlineb=
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 16 умно­жить на 4 минус 8 умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 64 минус 24 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 49 конец ар­гу­мен­та =7.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2022 года, ва­ри­ант 2. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Ис­поль­зо­ва­ние век­то­ров
Классификатор планиметрии: 2\.4\. Про­чие па­рал­ле­ло­грам­мы, За­да­чи, где в усло­вии век­то­ры
Спрятать решение · Помощь