РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 20 № 2058 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ по математике 2022 года, вариант 1. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 9\.7\. Задачи на прогрессии

Прогрессии и последовательности. Задания для подготовки

Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов членов прогрессии 40,5. Найдите знаменатель данной прогрессии.

1) $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$

3) 2

4) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$

Решение. Квадраты членов геометрической прогрессии тоже образуют геометрическую прогрессию, знаменателем которой будет квадрат знаменателя исходной. Пусть ее первый член равен b, а знаменатель равен q — тогда по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получаем $9= дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби$ и

$40,5= дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 1 минус q в квадрате конец дроби = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби =9 в квадрате умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби ,$ $40,5= дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 1 минус q в квадрате конец дроби = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби =9 в квадрате умножить на дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби ,$

откуда

$дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = дробь: числитель: 40,5, знаменатель: 81 конец дроби =0,5$

Решим уравнение:

$дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow 2 левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка =1 плюс q равносильно 2 минус 2q=1 плюс q равносильно 1=3q равносильно q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

2058

Классификатор алгебры: 9\.7\. Задачи на прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2058	4