Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д3 A3 № 1343
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний:  си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус y=2 Пи , синус x плюс ко­си­нус y=1 . конец си­сте­мы .

1)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
2)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
3)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
4)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
5)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем x=y плюс 2 Пи , по­это­му  синус x= синус левая круг­лая скоб­ка y плюс 2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = синус y. Тогда вто­рое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид  синус y плюс ко­си­нус y=1. Воз­во­дя это урав­не­ние в квад­рат, по­лу­ча­ем

 синус в квад­ра­те y плюс 2 синус y ко­си­нус y плюс ко­си­нус в квад­ра­те y=1 рав­но­силь­но 1 плюс 2 синус y ко­си­нус y=1 рав­но­силь­но синус y ко­си­нус y=0.

Итак, одно из чисел  синус y и  ко­си­нус y рав­ня­ет­ся нулю, а вто­рое тогда — еди­ни­це (в силу урав­не­ния  синус y плюс ко­си­нус y=1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, под­хо­дят точки 2 Пи m и 2 Пи n плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , m, n при­над­ле­жит Z . Их можно за­пи­сать и одним на­бо­ром — в виде y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . Тогда

x=y плюс 2 Пи = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k плюс 2 Пи = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что со­от­вет­ству­ет пя­то­му от­ве­ту.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Источник: ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года. Ва­ри­ант 5