РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 40 № 3555 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 3\.18\. Шар, 3\.20\. Комбинации круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

Сложная стереометрия (комбинации фигур, сечения, мультивыбор). Задания для подготовки

Из конуса вырезали шар наибольшего объёма. Найдите отношение объёма срезанной части конуса к объёму шара, если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

1) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$

3) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$

4) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$

Решение. Речь, разумеется, идет о шаре, вписанном в конус. Пусть образующая конуса равна 6x. Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем от конуса останется равносторонний треугольник со стороной 6x, а от шара — вписанная в этот треугольник окружность. Ее радиус равен трети высоты, она же медиана и биссектриса, этого треугольника, то есть

$r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 27x в квадрате конец аргумента =x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 27x в квадрате конец аргумента =x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Объем шара равен

$дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в кубе = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в кубе =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе .$

Радиус основания конуса равен 3x, высота равна высоте осевого сечения, то есть $3r=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x.$ Значит, объем конуса равен

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате умножить на 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x=9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе .$

Тогда объем оставшейся части конуса равен

$9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе =5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе .$

Поэтому отношение равно

$5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе :4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи x в кубе = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

3555

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 3\.18\. Шар, 3\.20\. Комбинации круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3555	4