РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип Д44 A44 № 2044 Добавить в вариант

Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года, вариант 4120. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 15\.5\. Касательная к графику функции

Мультивыбор: функции, производная, интеграл. Производная, ее применение, дифф уравнения

Напишите уравнение общей касательной к параболам: $y = x в квадрате плюс 4x плюс 8$ и $y=x в квадрате плюс 8x плюс 4.$

1) $y=8x плюс 4$

2) $y = минус x минус 2$

3) $y=8x плюс 4$

4) $8x минус y плюс 4 = 0$

5) $x плюс y плюс 2 = 0$

6) $y = минус x$

Решение. Пусть уравнение этой касательной $y=ax плюс b,$ тогда уравнения $x в квадрате плюс 4x плюс 8=ax плюс b$ и $x в квадрате плюс 8x плюс 4=ax плюс b$ должны иметь единственные корни, то есть уравнения $x в квадрате плюс левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 8 минус b правая круглая скобка$ и $x в квадрате плюс левая круглая скобка 8 минус a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка$ должны иметь нулевые дискриминанты, откуда $левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8 минус b правая круглая скобка =0$ и $левая круглая скобка 8 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0.$ Вычтем эти уравнения друг из друга, получаем

$левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 8 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8 минус b правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 16 минус 8a плюс a в квадрате минус 64 плюс 16a минус a в квадрате минус 32 плюс 4b плюс 16 минус 4b=0 равносильно$
$равносильно минус 64 плюс 8a=0 равносильно a=8.$

Из второго уравнения следует, что

$0 в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0 равносильно 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 4 минус b=0 равносильно b=4.$ $0 в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 4 левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 4 минус b=0 равносильно b=4.$

Итак, уравнение этой прямой $y=8x плюс 4.$ Эта прямая записана в ответах 3 и 8, просто по-разному записано ее уравнение.

Правильные ответы указаны под номерами 1 и 4.

Ответ: 14

2044

Классификатор алгебры: 15\.5\. Касательная к графику функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2044	14